追求数学素养达成的教学设计标准与案例（1）
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前言
作为在一线摸爬滚打了十几年的“老教头”，尽管我们对新课程、新课标理念通过各种不同渠道都有所接触，但是说实话雷声大雨点小，很多核心概念是大致知道，但是概念内涵和外延不甚了了，甚至连这些概念究竟是什么名称可能都说不来，更别提深入体会，有效落实.据说某地中学数学青年教师教学基本功解题比赛，有一道是问数学六大核心素养是什么，并谈谈如何根据这六个核心素养进行教学设计？结果听说有相当多的教师答不出或者答不全这六大核心素养的名称.
基于此，本号特约国家中学课程标准顶层设计、华南师范大学数科所何小亚教授来给我们中学数学教育教学作实践的理论指导，本号也有幸得到何教授授权，从即日起将持续刊载何教授有关中学课程标准的解读、学生数学素养指标的理论分析、中学数学教学设计标准及案例分析等系列文章，欢迎大家关注、评论和转发.
本文主要围绕数学教学存在的问题和数学教育的未来之路来展述.
摘要与关键词
摘要
数学教学当下存在的问题：例题习题分不清，学生参与成空谈；方法先行失创新，问题解决难实行；标准缺失生乱象，数学本质未揭示；不良观点引误解，数学素养难实现.数学教育的未来之路是以理解、探究、问题解决为价值取向，追求数学素养的达成，并促进学生核心素养的发展.最后提供了数学教学设计的专业标准和案例.
关键词
数学教学问题；数学素养；核心素养；数学三维目标；数学教学设计标准；案例
数学教学存在的问题
1.1 例题习题分不清，学生参与成空谈
按照数学教学专业标准，例题要由教师示范讲授，而习题要由学生自己完成.但如今很多数学课上，看不到教师完整的讲解例题过程，而是叫大家先做，然后教师问：“会不会”，学生答：“会！”（中国的学生谁愿意说不会啊？）于是就对答案；一旦意识到一些学生不会，老师就叫学生讲，而讲的学生往往因其使用的字母符号、图形和大家的不一致，或者是字迹、图形、声音不清楚，无法保证同伴形成清晰的问题空间.没有清晰的问题空间，何来思维的同步共鸣？学生参与数学思维名存实亡.而且学生往往只是讲了综合法形式，并没有讲出他或她是如何由因导果，如何执果索因，如何上下紧逼、前后夹攻而思路贯通——找到了问题的初始状态和目标状态的逻辑联系[1],没有数学解题和数学证明的思路探索过程的示范展示，怎么可能做到真正提高学生的数学思维水平？而布置学生做习题时，老师又不完全放手，像保姆一样喋喋不休地公开启发提示，到底是老师做还是学生做？剥夺了学生解题思路探索的机会，怎么能提高学生的问题解决能力？
听了不少普通中学、重点中学的数学课，我们发现，无论是正常上课还是大型的同课异构课，学生积极参与数学思维的大概也就四分之一.如此低的参与度怎么能保证数学教学的效果？学生参与度较低的主要原因是学生分层的缺失、教学设计的不专业、吸引和激励学生玩数学的手段之匮乏.
如果要想真正提高学生的数学思维水平和问题解决能力，必须恢复例题、习题的本来功能.例题就是要由老师来完整地示范讲解，不能再低效地半做半讲，学生代替老师讲.你叫学生做例题，那例题就不是例题了，应该选择另外的问题作为例题.而学生在做练习时，教师要公开闭嘴！要想大面积提高学生的成绩，数学教学必须实施分层教学！
1.2 方法先行失创新，问题解决难实行
某重点大学毕业了十多年的教师，在一节立体几何复习课中，讲线面平行的证明，是按照其发给学生的学案结构顺序进行的：
类型一：线面平行的证明（中位线法，平行四边形法，面面平行法）
（1）方法一：中位线法 例1、变式1、变式2；
（2）方法二：平行四边形法 例2、变式1、变式2；
（3）方法三：面面平行法 例3、变式1、变式2.
某重点中学的教师讲数列通项与求和时，其板书的顺序是：
一、求通项 1.公式法——例1；2.累加法——例2；3.累乘法——例3；4.倒数法——例4；5.待定系数法——例5.
尽管以上两位老师的内容不同，但他们教学生解题的方式完全一样，那就是总结专题类型，方法先行，例题跟上，也就是用习题来说明方法，为方法而解题.在解题之前，学生就知道此题用此法，彼题用彼法，还有什么思维训练价值？中考、高考时可没有人来提醒你，此题用A法，彼题用B法来解答.方法先行的解题教学的后果是，学生只会重复一个解题反应，没有学会独立去创造一个反应——问题解决！为什么平时的校际联考、地区性考试，甚至一些模拟考，学生成绩还不错，但一到真正的高考（指的是以问题解决为价值取向的高考）学生的成绩就不行了？因为方法先行的解题教学难以教会学生解决真正的问题（Problem:老师没讲过，自己也没有练过，没有现成模式和算法可套的问题）[2]P201-240. 笔者相信，张奠宙先生的在天之灵绝对反对这样的变式教学！
1.3 标准缺失生乱象，数学本质未揭示
许多教师，包括名校出生的、教了几十年的教师，在教数学概念和原理时，由于缺少数学概念、原理的专业标准的支持，不知道，数学概念教学的本质？数学概念学习的几种水平？数学原理学习的本质？数学原理学习的几种水平？数学教学到底要教什么？无法帮助学生建构起良好的概念图式和原理图式[3]P40-71.例如，为什么要学习对数？理解对数要理解什么？为什么要学习等差数列、等比数列？为什么要讲基本初等函数？为什么要求曲线的方程？求曲线的方程本质上是求什么？由于缺少问题解决教学理论的指导，讲数学题就是讲答案，讲算法（一做什么，二做什么，三做什么），没有讲出怎么想出来的.有具体的解法，但没有思路探索的揭示，更没有数学思想.
数学教学低效的直接原因是，很多教师在上课时并不清楚这节课到底要学生学会什么，于是在快下课小结时问一些无效的问题：懂了没有？会不会？大家要急着出去玩耍、上厕所、约会，谁会说不懂！谁敢说不会! 一说不会，老师会追问：“哪里不会？这么简单，别人会你怎么不会?”(潜台词是：笨蛋！弱智！不努力！)于是教师听到的是大声整齐的回答：“会了！懂了！”于是大家都十分开心地闪了.假设有人问这位老师：“什么叫会？什么叫懂？”这位先生十有八九是糊涂的、非专业的，因为他并不清楚数学教学除了教知识与技能之外，还有什么高大上的追求？
和其它学科相比，数学是最不受欢迎的学科，也是伤害众多网友的学科[4].过程与方法目标，尤其是情感态度价值观目标的缺失是导致“大众不喜欢数学”这一现象最直接的原因．
产生以上乱象的根本原因是，数学教师在备课时缺少专业标准的指引.
1.4 不良观点引误解，数学素养难实现.
尽管数学课程改革已经实施了十几年，但许多教师，包括专业的数学教育研究者，仍未能明确数学三维目标的内涵和外延.
许多一线教师都在抱怨，三维目标还没搞明白，怎么又出来“核心素养目标”呢？华东师范大学的崔允漷教授认为“三维目标”本身就比较难理解，尤其是“过程与方法”的目标.由于看不清“过程与方法”目标的内涵和外延，他认为三维目标是较低的2.0版本，核心素养目标是较高的3.0版本[5].三维目标真的过时了吗？事实上，三维目标本身体现的恰恰就是核心素养的要求，我们不能因自己不知道、不理解而对其持否定的态度.
其实，核心素养的定义和特点表明，以核心素养为标志的第九次数学课程改革不是革命性的，课堂教学改革更不是革命性的（革命是要否定，要推翻，要打倒重来的！），而是对第八次数学课程改革的传承，是补齐没有落实好过程与方法、情感态度价值观目标这一短板的深化改革，这也是中央文件《关于深化教育体制机制改革的意见》的精神.
不少数学教育专家、教研员在各种场合说：“三维目标是课程目标，不是课堂教学目标，在数学课堂教学设计中没必要都写三维目标”；“情感态度价值观目标要靠过程教学来完成，过程性目标里就有情感态度价值观目标，怎么能分开来写？”试问：没有每一节课的过程与方法、情感态度价值观目标的具体化设计、追求，何来总体课程的过程与方法、情感态度价值观目标的实现？认为不能把过程性目标和情感态度价值观目标分开来写的原因是他们自身并没有明确数学三维目标的内涵和外延.
在设计数学课堂教学目标时，众多的数学教育杂志上的优秀教案，不少国家级、省级的获奖教案，都出现了这样一些硬伤：目标内涵不清楚、目标串位、目标层次要求不清楚，目标只是一个摆设，空洞无物，与内容不协调，与学生实际不符.请看某初中教师设计的《平均数、中位数、众数的使用》这节课很不专业的教学目标：
知识与技能：让学生接触并解决一些社会生活中问题，培养学生的数学应用意识和创新意识，重视和提高学生的理解水平.
过程与方法：根据不同的问题情景，选择合理的统计量进行分析决断，在问题解决过程中，培养学生自主学习能力；
情感、态度与价值观：提供适当的问题情景，激发学生的学习热情，培养学生学习数学兴趣，在合作学习中，学会交流，相互评价，提高学生的合作意识与能力.
再比如，某个获得省级教学大赛特等奖后再获得某学会全国青年教师优质课比赛一等奖的说课教案《回归分析的基本思想及其初步应用》的教学目标也出现了前述的一些问题[6]P263-275.
数学教育的未来之路
1.2 提高学生的数学素养[8] 数学素养是一种十分重要的学生发展的核心素养.在全球10个发达国家，3个先进组织，2个发达地区的核心素养框架中，有13个将“数学素养”列为学生发展核心素养的一级指标. 数学素养是满足学生自身发展和社会发展所必备的数学方面的品格和能力，是数学的知识、能力和情感态度价值观的综合体现. 数学素养的构成要素为：数学化、数学运算、数学推理、数学意识、数学思想方法和数学情感态度价值观. 按照学生获得的先后顺序和难易程度，数学素养的表现水平可以由低到高分成三个层次：数学知识与技能、数学过程与方法和数学情感态度价值观. 当前，数学教学低效的主要原因是教师不知道理解数学要理解什么？也不清楚到底要教会学生什么？因此，要提高学生的数学素养，首先就要提高教师的数学素养.于是，数学教师培训必须解决的核心问题是：如何帮助教师深刻认识数学和欣赏数学？如何提高教师对数学具体内容的理解水平？如何由低效的应试刷题教学转向数学问题解决教学？
1.3 数学核心素养的细分 数学核心素养则是一些重要的、关键的数学能力.2018年1月16日公布的普通高中数学课程标准（2017年版）中给出的高中数学核心素养是：数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析. 义务教育课程标准（2011年版）给出了十个关键词，也就是小学初中的数学核心素养：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析能力、运算能力、推理能力、应用意识、创新意识、模型思想.当前，最迫切需要解决的问题是，在数学教学中，如何科学、具体地落实这些数学核心素养？ 首先，考虑到数学抽象的研究对象有两类，一是真实世界，二是数学世界.另外，数学抽象的内容主要有三类：一是问题，二是数学概念，三是数学原理.于是数学抽象的内容就可以细分为两类六种：一是在真实世界中利用理想化和数学表示提出数学问题、数学概念、数学原理，这个叫水平数学化(horizontal mathematization).数学建模是一种很重要的水平数学化，可以将其单列出来讨论；二是在数学世界中提出更高级的数学问题、数学概念、数学原理，这个叫垂直数学化(vertical mathematization).其次，标准中所说的逻辑推理的内容实质上包括了演绎推理与部分合情推理的内容. 第三，直观想象这一条核心素养中的“直观”属于数学思想.直观只是化归的手段之一，它只解决了代数与几何的联系问题.其实化归是比直观更普遍、更重要的数学核心素养.无论是初等代数还是高等代数，处理方程问题时，都是在把多元问题化归为少元问题，最终少到一元；把高次问题化归为低次问题，最终低到一次.立体几何中也是将空间问题化归为平面问题，平面问题化归为数轴问题.而想象则属于合情推理，它是一种重要的合情推理形式. 基于以上三点考虑，结合文[9]的研究结论，可以将数学核心素养细分调整为：数学化、数学运算、数学推理、数学意识、数学思想方法和数学情感态度价值观.★数学化是从现实世界到数学世界或者由低层数学到高层数学的转化过程. 它主要包括：☆形式化：用简洁有效的符号来表示心里产生的数学问题、概念、原理和结构模式的过程，它可以分为水平数学化（在真实世界中利用理想化和数学表示提出数学问题、数学概念、数学原理）和垂直数学化（在数学世界中提出更高级的数学问题、数学概念、数学原理）.☆图式化：是对形式的数学本质内容的内化过程，是对数学概念、原理、模式的理解过程.☆数学建模：就是运用理想化和数学表示的手段从实际问题中概括提炼出一个数学模型，求出模型的解，检验模型的合理性，从而使这一实际问题得以解决的过程.★数学运算是指，根据算理和算法对数与式进行的运算.它要求运算要正确、迅速、合理，并对运算结果的正确性进行判断、验算.它包括：☆数值计算☆代数运算.★数学推理是指，由一个或几个已知判断得出一个新的数学判断的思维形式.它包括：☆演绎推理(deductive reasoning中国学界习惯称之为逻辑推理)：从已有的事实和确定的规则出发，按照逻辑推理规则进行的推理，它是一种必然性推理.☆合情推理(plausible reasoning)：从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过不完全归纳、类比和想象等方式来推断某些结果的推理，它是一种或然性推理.★数学意识是个体在思考问题时在数学方面的自觉意识或思维习惯，是用数学的眼光看世界的具体内容，它包括：☆数的意识：对数的意义的理解；数的表示；数的大小的相对性；用数进行交流；算法的选择；数值的估算与解释.☆符号意识：能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，所得到的结论具有一般性，能用符号进行交流.☆空间观念：指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形，图形的分解与组合，等等.☆数据分析意识：意识到数据中隐藏着重要信息；有收集数据、分析数据、用数据说理的习惯；意识到数据分析方法的多样性与合理性；通过数据分析体验随机性.☆应用意识：一是有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；二是认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决.★数学思想方法是数学思想和数学方法的统一，它既包括观念层面的数学思想（一种数学观念，它是贯穿于一类数学方法中的普遍的方法原则、策略和规律）又包括操作层面的数学方法.比如数形结合思想、公理化思想、化归思想、模型化思想、统计思想、随机思想、微积分思想,等等.★数学情感态度价值观是指，个体对数学学科、数学活动、数学对象的喜好、立场观念等心理倾向.它包括：对数学的自信心，对数学的科学价值、应用价值和文化价值的认识，对数学的独特之美的感受，等等.
作者简介
何小亚，男，华南师范大学数学科学学院教授，教育部“国培计划”专家库首批20位数学专家，全国教育专业学位研究生教育指导委员会理科专家，全国数学教育研究会常务理事兼副秘书长，广东省中小学教师继续教育专家组成员，《数学教育学报》杂志编委，《中学数学研究》杂志副主编。主要从事数学教学和数学高考的研究。参与完成国家级、省级教育科研项目10项，在国内外刊物上发表学术论文70余篇，出版或参与出版著作24部。
2008、2009、2015、2016年分别指导本科生林佳佳、黄泽君、张琳琳蔡晓纯夺得教育部第一、二、六、七届东芝杯师范生教学技能大赛数学组冠军。
2013、2016年分别指导本科生朱桂静、黄健获“第一、四届全国师范院校师范生教学技能竞赛”数学组冠军。
2010年被评为全国教育硕士优秀教师。
2010、2012、2015年分别指导研究生杨志龙、胡彩英、谭团花连获第二、三、四届全国教育硕士优秀论文。
2012年所主编的《中学数学教学设计》一书入选教育部“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材。
参与教育部重大课题“我国基础教育和高等教育阶段学生核心素养总体框架研究”项目研究，承担教育部哲学社会科学研究重大课题攻关项目“我国高中阶段学生核心素养的模型及指标体系研究”（13JZDW009），为新的国家课程标准的制定做顶层设计。
作者相关链接
参考文献
[1] 何小亚.学生接受假设的认知困难与课程及教学对策[J]. 数学教育学报,2018,27(4):25-30.
[2] 何小亚.数学学与教的心理学(第二版)[M]. 广州:华南理工大学出版社,2016.
[3] 何小亚.中学数学教学设计（第二版）.北京:科学出版社, 2012.
[4] 何小亚.2016年数学高考全国1卷的认知分析和备考及命题建议[J].中学数学研究（上半
月）,2016,10:封2-10.
[5] 听崔允漷教授讲 “指向学科核心素养的教学变革”[EB/OL].
http://blog.sina.com.cn/s/blog_4b8e04e40102y1ct.html
[6] 何小亚.中学数学教学案例精选[M]．北京：科学出版社，2011．
[7] 林崇德主编．21世纪学生发展核心素养研究[M]．北京：北京师范大学出版社，2016：29-33．
[8] 何小亚.学生数学素养指标的理论分析[J]. 数学教育学报,2015,24(1):13-20.
[9] 何小亚.数学核心素养指标之反思[J]. 中学数学研究（上半月）,2016,7: 封2-4.
[10] 詹欣豪，何小亚．数学归纳法教学的困难、对策与价值[J]．中学数学杂志，2014，（9）：6-9．
[11] 江灼豪，张琳琳，何小亚.基于数学史的对数概念教学设计[J].中学数学研究（上半月）,2015,5:10-13.
[12] 蔡晓纯，何小亚.正弦定理的教学设计[J].中学数学研究（上半月）,2016,4: 封2-4.
[13] 詹欣豪，何小亚．数学归纳法的教学新设计[J].中学数学研究（上半月）,2014,5:7-9.